解不等式 x² − 4x − 5 > 0，并用区间表示解集。

Step-by-step solution

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   先让一边为零，再因式分解。 这个不等式右边已经是 $0$ 了，所以直接分解二次式。需要找两个数，乘积为 $-5$、和为 $-4$：正是 $-5$ 和 $+1$，于是

   $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$

   不等式化为 $(x-5)(x+1)>0$。

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   找临界点 —— 也就是各因式的零点。 令每个因式为零：

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   只有这两处表达式才可能变号，因为乘积变号的位置恰好就是某个因式变号的位置。

3. 3

   用它们把数轴分成三个区间。

   $(-\infty,-1),\qquad (-1,5),\qquad (5,\infty)$

   在每个区间内部 $(x-5)(x+1)$ 的符号都是固定的，所以每个区间取一个试验值就够了。

4. 4

   每个区间取一点代入。

   $x=-2:\ (-7)(-1)=7>0\quad\checkmark$

   $x=0:\ (-5)(1)=-5<0\quad\times$

   $x=6:\ (1)(7)=7>0\quad\checkmark$

   正—负—正这个规律，正是一条开口向上、有两个不同实根的抛物线该有的样子。

5. 5

   写出解集，注意要排除两个根。 不等式是严格的（$>0$，不是 $\ge 0$），所以让表达式等于零的 $x=-1$ 和 $x=5$ 不包含在内：

   $x<-1\ \text{ 或 }\ x>5,\qquad (-\infty,-1)\cup(5,\infty)$

   注意这里是并集：解集是两条互不相连的射线，而不是一个区间，所以不能写成 $-1>x>5$ 这样的连写不等式。