解方程 (1/3)(x − 3)² + (1/6)(x + 2)² = (x/2 − 1)(x/2 + 1) + (1/4)(x − 2)²。

Step-by-step solution

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   先把左边展开。 $(x-3)^2=x^2-6x+9$，$(x+2)^2=x^2+4x+4$，所以左边是 $\frac{1}{3}x^2-2x+3+\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$。

2. 2

   在左边合并同类项。 $\frac13x^2+\frac16x^2=\frac12x^2$；$-2x+\frac23x=-\frac43x$；$3+\frac23=\frac{11}{3}$。于是左边化为 $\frac12x^2-\frac43x+\frac{11}{3}$。

3. 3

   展开右边，其中一项用平方差公式。 $\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=\frac14x^2-1$，而 $\frac14(x-2)^2=\frac14x^2-x+1$。两者相加得 $\frac12x^2-x$，因为常数 $-1$ 与 $+1$ 恰好抵消。

4. 4

   注意两边的二次项一模一样。 两边都恰好带着 $\frac12x^2$，把它减掉之后就只剩下一次方程 $-\frac43x+\frac{11}{3}=-x$。这正是这道题比它的次数看起来要简单的原因：它其实是一道一次方程。

5. 5

   解这个一次方程。 两边同加 $\frac43x$：$\frac{11}{3}=-x+\frac43x=\frac13x$。再乘以 $3$ 得 $x=11$。

6. 6

   代入 $x=11$ 验证。 左边：$\frac13(8)^2+\frac16(13)^2=\frac{64}{3}+\frac{169}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$。右边：$\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{13}{2}\right)+\frac14(9)^2=\frac{117}{4}+\frac{81}{4}=\frac{198}{4}=\frac{99}{2}$。两边完全相等。