用综合除法计算 2t³ − t − 15 除以 t − 1，写出商和余数。

Step-by-step solution

1. 1

   给缺失的 $t^2$ 项补零。 被除式是三次的，所以要凑齐四个系数：

   $2t^3+0\cdot t^2-t-15\;\Longrightarrow\; 2,\;0,\;-1,\;-15$

   漏掉这个 $0$，等于把题目换成了 $2t^2-t-15$ 去除——那是另一道题，答案也不同。

2. 2

   取 $c=1$，并先用余数定理预测余数。 由 $t-1=t-(1)$ 知 $c=1$，余数定理给出

   $f(1)=2-1-15=-14$

3. 3

   逐列做「乘下来、加上去」。

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 0 & -1 & -15\\ & & 2 & 2 & 1\\ \hline & 2 & 2 & 1 & -14\end{array}$

   先把 $2$ 落下来；$2\cdot 1=2$，$0+2=2$；$2\cdot 1=2$，$-1+2=1$；$1\cdot 1=1$，$-15+1=-14$，与前面的预测一致。

4. 4

   读出二次的商。 比被除式降一次：

   $\text{商}=2t^2+2t+1,\qquad \text{余数}=-14$

5. 5

   验证带余除法等式。

   $2t^3-t-15=(t-1)\left(2t^2+2t+1\right)-14$

   展开看看：$(t-1)(2t^2+2t+1)=2t^3+2t^2+t-2t^2-2t-1=2t^3-t-1$，再减去 $14$ 就得到 $2t^3-t-15\;\checkmark$。余数不为零说明 $t-1$ 不是因式；又因为 $2t^2+2t+1$ 的判别式是 $4-8=-4<0$，可知三次式 $2t^3-t-15$ 恰好只有一个实根。