化简 f(x) = (−x² − 289)/x，并写出它的定义域。

Step-by-step solution

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   先看看分子能不能因式分解。 $-x^2-289 = -(x^2+289)$。由于 $x^2+289$ 是两个平方数的和，它没有实数因式，所以没有什么能整块约掉——把分式拆开是唯一可行的化简。

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   把一个分式拆成两个。 除法对分子的各项是可以分配的：$\frac{-x^2-289}{x} = \frac{-x^2}{x} - \frac{289}{x}.$ 这样做是合法的，因为两块的分母都还是 $x$。

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   在第一项里约掉一个 x。 $\dfrac{-x^2}{x} = \dfrac{-x\cdot x}{x} = -x$，这一步合法，因为我们本来就假定了 $x \neq 0$。第二项的分子里没有 $x$，所以它保持 $-\dfrac{289}{x}$ 不变。

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   拼出化简后的形式。 $f(x) = -x - \frac{289}{x} = -\left(x + \frac{289}{x}\right).$ 带括号的写法把结构摆得很清楚：$f$ 就是 $-1$ 乘上「一个数加上它的倒数的若干倍」。

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   写出定义域。 原来的分母是 $x$，所以必须排除 $x=0$；定义域是 $x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)$。注意化简后的式子有完全相同的限制，所以既没有凭空造出可去间断点，也没有把它抹掉。

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   顺带把结构读出来。 由于 $f(-x) = x + \dfrac{289}{x} = -f(x)$，这个函数是奇函数；$x = 0$ 是它的竖直渐近线，而 $y = -x$ 是它的斜渐近线。