化简 3√12 / (4 × 54 的立方根)，分母中不留根号。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个根式各自化简，别的事往后放。 在平方根里找最大的完全平方数，在立方根里找最大的完全立方数：

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

   让根指数与次数对上，是这里的关键习惯：平方从平方根里出来，立方从立方根里出来。

2. 2

   代入并约掉有理系数。 分式变成

   $\frac{3\cdot 2\sqrt3}{4\cdot 3\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt3}{12\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}$

   这里只有数字能约；$\sqrt3$ 和 $\sqrt[3]{2}$ 的根指数不同，合并不了。

3. 3

   给立方根挑对有理化因子。 平方根只要乘上同一个根式就够了；可对 $\sqrt[3]{2}$ 这样不够，因为 $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ 仍是无理数。根号里一共需要三个 2 的因子，所以分子分母同乘 $\sqrt[3]{4}$：

   $\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}}$

4. 4

   把分母收尾。 由于 $\sqrt[3]{8}=2$，

   $\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{4}$

   分母现在是有理数 $4$，正是题目要求的。

5. 5

   核对小数值。 原式是 $\dfrac{3\cdot 3.4641}{4\cdot 3.7798}=0.68736$，而 $\dfrac{1.7321\cdot 1.5874}{4}=0.68736$。两者一致，所以化简没错。