按要求做除法并化简：(y² − 81) 除以分式 (y² + 4y − 45)/(y² + 9)。

Step-by-step solution

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   第一步先把除法改写成乘法。 除以一个分式就是乘以它的倒数，所以在碰别的地方之前，先把第二个式子翻过来。想跨着除号去约分，是这类题里最常见的错误：

   $\left(y^{2}-81\right)\div\frac{y^{2}+4y-45}{y^{2}+9}=\left(y^{2}-81\right)\cdot\frac{y^{2}+9}{y^{2}+4y-45}$

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   把每个多项式彻底分解。 只有在因式之间才允许约分，所以在每一块都化成乘积形式之前，什么都不能化简。第一个是平方差；那个二次三项式则要找乘积为 $-45$、和为 $4$ 的一对数，也就是 $9$ 和 $-5$：

   $y^{2}-81=(y-9)(y+9),\qquad y^{2}+4y-45=(y+9)(y-5)$

   注意 $y^{2}+9$ 是平方和，在实数范围内分解不了，所以原样保留。

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   拼成一个分式。 把分解后的分子放到分解后的分母上：

   $\frac{(y-9)(y+9)\left(y^{2}+9\right)}{(y+9)(y-5)}$

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   约掉公因式，并把限制条件记下来。 因式 $(y+9)$ 上下都有，可以约掉：

   $\frac{(y-9)\left(y^{2}+9\right)}{y-5}$

   这个约分只有在 $y+9\neq 0$ 时才合法，而剩下的分母又不允许 $y=5$，所以化简后的式子适用于 $y\neq -9$ 且 $y\neq 5$。

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   取一个值把结果验算一遍。 当 $y=2$ 时，原式是 $(4-81)\div\dfrac{4+8-45}{4+9}=(-77)\cdot\dfrac{13}{-33}=\dfrac{1001}{33}$；而化简后的式子给出 $\dfrac{(2-9)(4+9)}{2-5}=\dfrac{-91}{-3}=\dfrac{91}{3}=\dfrac{1001}{33}$。两者一致，说明整个变形站得住脚。