解 3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0。它有实数解吗？

Step-by-step solution

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   先试最容易想到的猜测——然后把它否掉。 这组系数看上去像是 $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$，这个猜测代入一验便知：

   $f(-1)=3-18+38-32+12=3,\qquad f(-2)=48-144+152-64+12=4.$

   两个都不是零，所以 $x=-1$ 和 $x=-2$ 不是根。把猜测展开就明白原因了：$3(x+1)^{2}(x+2)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+39x^{2}+36x+12$，它在 $x^{2}$ 项和 $x$ 项上与题给的多项式不一样。

2. 2

   排除所有有理根。 由有理根定理，任何有理根形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 12$、$q\mid 3$，也就是 $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac43$ 之一。所有系数都是正的，所以当 $x\ge 0$ 时 $f(x)>0$，只需要检验负的那些候选——而它们代入后的值都不为零。所以没有有理根，事实上也不存在系数为有理数的二次因式分解。

3. 3

   在四次的层面上配方。 我们要找一个常数 $a$，使得 $f(x)-3(x^{2}+3x+a)^{2}$ 是一个正定的二次式。由于

   $3(x^{2}+3x+a)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+(27+6a)x^{2}+18ax+3a^{2},$

   取 $a=\tfrac32$ 后剩下的恰好是

   $f(x)=3\left(x^{2}+3x+\tfrac32\right)^{2}+2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}.$

4. 4

   说明剩下的二次式恒为正。 对 $2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}$，判别式是

   $25-4(2)\left(\tfrac{21}{4}\right)=25-42=-17<0,$

   它的最小值是 $\tfrac{21}{4}-\tfrac{25}{8}=\tfrac{17}{8}$。而第一项是一个平方再乘以 $3$，永远不会为负，所以

   $f(x)\ge \tfrac{17}{8}>0\quad\text{对任意实数 }x.$

   一个永远碰不到零的四次式没有实根。

5. 5

   数值求出四个复根。 因为系数都是实数，根成共轭对出现。数值求解得到

   $x\approx-2.384922\pm 0.678668i,\qquad x\approx-0.615078\pm 0.521776i.$

   用韦达定理核对：四个根之和是 $-6=-\tfrac{18}{3}$ ✓，四个根之积是 $4=\tfrac{12}{3}$ ✓。对应的实系数分解是 $3(x^{2}+4.76984x+6.14844)(x^{2}+1.23016x+0.65057)$，两个因式的系数都不是有理数。