解方程 1/((x + 1)(x + 3)) + 9/((x − 1)(x + 5)) = −1。

Step-by-step solution

1. 1

   把两个分母展开，找出它们共有的二次部分。 两组因式的和相同，$1+3=(-1)+5=4$：

   $(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3,\qquad (x-1)(x+5)=x^{2}+4x-5$

   令 $v=x^{2}+4x$，两个分母就都是 $v$ 的一次式了。

2. 2

   用 v 改写方程。

   $\frac{1}{v+3}+\frac{9}{v-5}=-1$

3. 3

   去分母。

   $(v-5)+9(v+3)=-(v+3)(v-5)$

   $10v+22=-\left(v^{2}-2v-15\right)=-v^{2}+2v+15$

   $v^{2}+8v+7=0$

4. 4

   解出 v。

   $(v+1)(v+7)=0\quad\Longrightarrow\quad v=-1\ \text{或}\ v=-7$

5. 5

   逐个换回 x，舍去不可能的那个。

   $v=-1$：$x^{2}+4x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3$，两个都是实数。

   $v=-7$：$x^{2}+4x+7=0$ 的判别式为 $16-28=-12<0$，所以没有实根。

   $\boxed{x=-2+\sqrt3\ \text{或}\ x=-2-\sqrt3}$

6. 6

   核对定义域并验算。 需要排除的值是 $x=-1,-3,1,-5$；两个根 $-2\pm\sqrt3\approx -0.268$ 与 $-3.732$ 都不碰它们 ✓。以 $x=-2+\sqrt3$ 验算：此时 $v=x^{2}+4x=-1$，左边为 $\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{-6}=0.5-1.5=-1$ ✓。