设 f(x) = −x² + 7x + 2。把 (f(x + h) − f(x))/h 计算并化简后，它具有 Ax + Bh + C 的形式。求 A、B、C。

Step-by-step solution

1. 1

   把出现 $x$ 的地方全部换成 $x+h$。

   $f(x+h)=-(x+h)^{2}+7(x+h)+2.$

   展开 $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$，并小心地把前面的负号分配进去：

   $f(x+h)=-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2.$

   平方项前面的那个负号，是最容易出错的一个地方。

2. 2

   减去 $f(x)$，注意看不含 $h$ 的项如何消失。

   $f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2\bigr)-\bigl(-x^{2}+7x+2\bigr).$

   $-x^{2}$、$7x$、$2$ 三项成对抵消，剩下

   $-2xh-h^{2}+7h.$

   存活下来的每一项都含 $h$ —— 这是必然的，否则除以 $h$ 之后在 $h\to0$ 时就会爆掉。

3. 3

   提出 $h$ 并约分。

   $\frac{h(-2x-h+7)}{h}=-2x-h+7,\qquad h\ne 0.$

4. 4

   与题目要求的形式对照。 把结果写成 $(-2)x+(-1)h+7$，再与 $Ax+Bh+C$ 比较：

   $A=-2,\qquad B=-1,\qquad C=7.$

5. 5

   与导数以及一个数值例子对照检验。 令 $h\to0$ 得到 $-2x+7$，这恰好是 $f(x)=-x^{2}+7x+2$ 的 $f'(x)$ —— 差商必然塌缩成导数。数值上取 $x=3$、$h=0.1$：$f(3.1)=-9.61+21.7+2=14.09$，$f(3)=-9+21+2=14$，所以差商是 $0.09/0.1=0.9$，而 $-2(3)-0.1+7=0.9$ ✓。