解方程 x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)²。

Step-by-step solution

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   先别展开，把左边的平方差分解掉。 由于 $64=8^{2}$，$(8.9-x)^{2}-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x),$ 所以左边就是 $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)$。全部乘开只会得到一个一般的四次式，把这道题之所以能手算的结构给藏起来。

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   右边同样分解。 注意 $71\times 0.9=63.9$，于是 $63.9-71x=71(0.9-x)\quad\Longrightarrow\quad (63.9-71x)^{2}=71^{2}(0.9-x)^{2}=5041(0.9-x)^{2}.$ 看出 $63.9$ 正好是 $71\times 0.9$，是整道题最关键的一步观察。

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   把所有项移到一边，提出 $(0.9-x)$。 $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)-5041(0.9-x)^{2}=0$ $(0.9-x)\left[x^{2}(16.9-x)-5041(0.9-x)\right]=0$ 四次式现在裂成了一个一次因式和一个三次因式，一个四次方程就变成了我们真能做到底的东西。

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   读出那个精确根。 第一个因式给出 $0.9-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.9,$ 回代就能确认：左边变成 $0.81(64-64)=0$，右边变成 $(63.9-63.9)^{2}=0$。

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   解剩下的三次方程。 把方括号展开，$16.9x^{2}-x^{3}+5041x-4536.9=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0,$ 去掉小数写成整系数即 $10x^{3}-169x^{2}-50410x+45369=0$。它没有有理根，数值上三个实根是 $x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$

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   用韦达定理检验三次方程的根。 对 $x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9$，三根之和应为 $16.9$，两两乘积之和应为 $-5041$，三根之积应为 $-4536.9$。这三个数算出来：$-63.548577+0.897443+79.551134=16.900000$，两两乘积之和 $-5041.000000$，乘积 $-4536.899998$ —— 三项全部吻合。另外留意 $0.897443$ 和精确根 $0.9$ 有多近：只差 $0.0026$，取近似值时很容易把它误当成那个精确解。

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   写出完整解集。 $x=0.9,\qquad x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ 四个根全是实数，这与「移项后那个四次式首项系数为正、并且变号四次」完全相符。