已知 A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]，B 是元素全为 1 的 3×2 矩阵，求 AB，并判断 AᵗBᵗ 是否有定义。

Step-by-step solution

1. 1

   相乘之前先核对形状。 $A$ 是 $3\times 3$ 的，$B$ 是 $3\times 2$ 的。内侧维度相符（$3=3$），所以 $AB$ 存在，尺寸取外侧维度，即 $3\times 2$。

2. 2

   利用 B 的特殊结构。 $B$ 的每一列都是 $(1,1,1)^{t}$，所以 $AB$ 的每个元素其实就是 $A$ 某一行的和，而且 $AB$ 的两列完全相同。

3. 3

   算出三个行和。

   $9+1+1=11,\qquad 1+2+1=4,\qquad 1+18+1=20$

   于是

   $AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix}$

4. 4

   (b) 核对 AᵗBᵗ 的形状。 转置会把维度交换：$A^{t}$ 是 $3\times 3$，$B^{t}$ 是 $2\times 3$。乘积 $A^{t}B^{t}$ 要求内侧维度一致，也就是 $3$（$A^t$ 的列数）$=2$（$B^t$ 的行数）—— 而它们并不相等。所以

   $A^{t}B^{t}\ \textbf{无定义。}$

5. 5

   给出真正成立的那个恒等式。 乘积的转置会把顺序倒过来：

   $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

   这里 $B^{t}$ 是 $2\times 3$，$A^{t}$ 是 $3\times 3$，所以 $B^{t}A^{t}$ 是 $2\times 3$ —— 恰好就是 $(AB)^{t}$ 的形状。

6. 6

   用数值验证这个恒等式。

   $B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}11&4&20\\11&4&20\end{pmatrix}=(AB)^{t}$

   它确实就是 (a) 中算出的 $AB$ 的转置。这既验证了算术，也验证了顺序反转的规则。

   $\boxed{AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix};\quad A^{t}B^{t}\text{ 无定义};\quad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$