解方程 2x + 2λx + μ = 0，把 λ 和 μ 当作参数，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把含 $x$ 的项收起来提公因式。 $2x$ 与 $2\lambda x$ 里 $x$ 都只有一次，所以可以合并：

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   方程于是变成

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   这一步的全部意义就在于：$x$ 的系数现在是一个看得见的整体 $2(1+\lambda)$，而后面所有讨论都取决于它是否为零。

2. 2

   先解一般情形 $\lambda\neq -1$。 此时 $2(1+\lambda)\neq 0$，可以放心做除法：

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   这时恰有一个解。例如 $\lambda=3,\ \mu=5$ 给出 $x=-\frac{5}{8}$，代回确实有 $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$。

3. 3

   处理退化情形 $\lambda=-1$。 这时 $1+\lambda=0$，含 $x$ 的项整体消失，方程退化成一句关于常数的判断

   $\mu=0$

   这里没有任何东西可以拿来做除法，只能直接把两个子情形读出来。

4. 4

   把退化情形一分为二。 若 $\lambda=-1$ 且 $\mu=0$，方程就是 $0=0$：对每一个实数 $x$ 都成立，解集是整个 $\mathbb{R}$ —— 它是一个恒等式，而不是只有一个根的方程。若 $\lambda=-1$ 且 $\mu\neq 0$，方程说的是 $\mu=0$ 而事实上 $\mu\neq 0$：矛盾，所以解集为空。

5. 5

   把三种情形汇总。 一次方程 $Ax+B=0$ 永远按这个方式分岔，这里 $A=2(1+\lambda)$、$B=\mu$：

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{（唯一解）}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{（无穷多解）}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{无解}$

   漏掉分类讨论是这类题的通病：不先确认 $1+\lambda$ 非零就拿它去除，会悄悄把后两种可能扔掉。