解四次方程 2x^4 − 9x^3 + 3x^2 + 11x − 3 = 0，求出全部四个根。

Step-by-step solution

1. 1

   先列出所有可能的有理根。 由有理根定理，任何有理根 $p/q$ 都满足：$p$ 整除常数项 $-3$，$q$ 整除首项系数 $2$。于是候选值为

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   只有八个数需要试——这比乱猜强太多了。

2. 2

   逐个试算，找出第一个根。 记 $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$：

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是一个因式。注意 $x=3$ 不是根，尽管系数看上去很诱人——一定要代进去算，不能想当然。

3. 3

   用综合除法除掉 $(x+1)$。 把系数 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ 依次写下，以 $-1$ 作综合除法：

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   于是

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   余数为 $0$ 说明除法没错；四次问题现在降成了三次问题。

4. 4

   在同一份候选表里找三次式的根。 记 $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$：

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   所以 $x=\tfrac32$ 是根，对应因式 $(2x-3)$。再作一次除法得到

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

5. 5

   解剩下的二次方程。 最后这个因式没有有理根，所以对 $x^2-4x+1=0$ 用求根公式：

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   拼起来并验证因式分解。 合在一起就是

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   把右边展开，可以还原出原来的系数 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$。再用韦达定理做第二重检验：四个根之和为 $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$，与 $-\frac{-9}{2}$ 相符；四个根之积为 $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$，与 $\frac{-3}{2}$ 相符。