设 a = λ − 2024，b = √(4 − (λ − 2024)²)。求使 a 与 b 都是实数的全部实数 λ。

Step-by-step solution

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   注意到两个式子里只有一个真正带来限制。 $a=\lambda-2024$ 是 $\lambda$ 的多项式，对任何实数 $\lambda$ 都是实数——它根本不构成条件。全部信息都藏在 $b$ 里，因为负数的平方根不是实数。

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   写出被开方数的条件。 要让 $b$ 是实数，

   $4-(\lambda-2024)^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2024)^2\le 4$

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   把平方不等式化成绝对值。 对任何实数 $t$，$t^2\le 4$ 等价于 $|t|\le 2$，也就是 $-2\le t\le 2$。取 $t=\lambda-2024$：

   $-2\le \lambda-2024\le 2$

   三边同时加上 $2024$（加法从不改变不等号方向），得到

   $2022\le \lambda\le 2026$

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   检验端点和一个内部的点。 取 $\lambda=2022$：$4-(-2)^2=0$，于是 $b=0$——是实数，端点应当包含在内。$\lambda=2026$ 同理。取 $\lambda=2027$：$4-3^2=-5<0$，此时 $b$ 会是虚数，这个值被正确地排除了。取中心 $\lambda=2024$：$b=\sqrt{4}=2$，这是 $b$ 能取到的最大值。

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   看清答案背后的几何。 把两个定义式加起来，

   $a^2+b^2=(\lambda-2024)^2+\left(4-(\lambda-2024)^2\right)=4$

   所以 $(a,b)$ 始终落在以原点为心、半径为 $2$ 的圆上——又因为算术平方根非负，它只能落在这个圆的上半部分。这正是 $a=\lambda-2024$ 只能在 $[-2,2]$ 内变动的原因：它是半径为 $2$ 的圆上一点的横坐标。答案就是区间

   $\lambda\in[2022,\,2026]$