把 a 和 b 看作参数，解关于 x 的不等式 a(x − 4)² + b < 10。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方项单独留下。 两边同减 $b$：

   $a(x-4)^2<10-b$

   此时还不能除以 $a$，因为 $a$ 可能为零、也可能为负——这正是必须分类讨论的原因。

2. 2

   先看 $a=0$，因为这时 $x$ 会整个消失。 不等式退化成只关于参数的命题 $b<10$，其中根本不含 $x$：

   $b<10\Rightarrow x\in\mathbb{R};\qquad b\ge 10\Rightarrow x\in\varnothing$

3. 3

   情形 $a>0$：直接除，不变号。

   $(x-4)^2<\frac{10-b}{a}$

   若 $b\ge 10$，右端 $\le 0$，而平方数绝不可能严格小于一个非正数，所以解集为空。若 $b<10$，右端为正，此时 $|x-4|<\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$，给出一个有界区间

   $4-\sqrt{\frac{10-b}{a}}<x<4+\sqrt{\frac{10-b}{a}}$

4. 4

   情形 $a<0$：除的同时要变号。

   $(x-4)^2>\frac{10-b}{a}$

   留意商的符号：$a<0$ 时，$b<10$ 会使 $\tfrac{10-b}{a}$ 成为负数，于是不等式对每个 $x$ 都成立，解为 $\mathbb{R}$。若 $b=10$，右端为 $0$，而 $(x-4)^2>0$ 只排除掉 $x=4$。

5. 5

   情形 $a<0$ 且 $b>10$：两条射线。 此时 $\tfrac{10-b}{a}>0$（负数除以负数），记 $c=\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$，则 $|x-4|>c$：

   $x<4-c\quad\text{或}\quad x>4+c$

6. 6

   在七个分支里抽两个做数值验证。 取 $a=2$、$b=2$：区间应当是 $4\pm\sqrt{4}=(2,6)$，果然在 $x=3$ 处 $2(1)+2=4<10$ $\checkmark$，而在 $x=7$ 处 $2(9)+2=20\not<10$ $\checkmark$。再取 $a=-1$、$b=19$：$c=\sqrt{9}=3$，预言解为 $x<1$ 或 $x>7$；在 $x=0$ 处 $-16+19=3<10$ $\checkmark$，在 $x=4$ 处 $19\not<10$ $\checkmark$。