把 x/(x − 2)² 拆成部分分式。

Step-by-step solution

1. 1

   按分母的基本块来改写分子。 分母是由 $x-2$ 搭起来的，所以把 $x$ 也用同一个块表示出来：

   $x=(x-2)+2$

   这是一个恒等式，所以没有添加任何假设——只是把分子重新组织了一下。

2. 2

   代入，把一个分数拆成两个。

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+2}{(x-2)^2}=\frac{x-2}{(x-2)^2}+\frac{2}{(x-2)^2}$

3. 3

   约掉第一个分数。 上下各去掉一个 $(x-2)$：

   $\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}$

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^2},\qquad x\neq 2$

4. 4

   和待定系数法对照一下。 设 $\tfrac{x}{(x-2)^2}=\tfrac{A}{x-2}+\tfrac{B}{(x-2)^2}$，得 $x=A(x-2)+B$，于是 $A=1$、$B=2$——答案完全一样。改写分子这个技巧一行就到位，只要分子是一次式、分母是重复的一次因式，就值得先想到它。

5. 5

   取值验证。 $x=4$ 时：左边 $=\tfrac44=1$，右边 $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$。$x=0$ 时：左边 $=0$，右边 $=-\tfrac12+\tfrac24=0$ $\checkmark$。