用横式计算乘积 (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²)。

Step-by-step solution

1. 1

   先看结构。 两个因式都是齐次的——第一个每一项的总次数都是 $2$，第二个每一项的总次数也是 $2$——所以每个部分积的总次数都是 $4$。这样一来，可能出现的项就只有 $x^4,\ x^3y,\ x^2y^2,\ xy^3,\ y^4$ 这几个位置，正好可以当作一个好用的自检。

2. 2

   把三项式的各项分别乘 $7x^2$。 $3x^2\cdot 7x^2=21x^4$，$4xy\cdot 7x^2=28x^3y$，$5y^2\cdot 7x^2=35x^2y^2$。

3. 3

   再分别乘 $9y^2$。 $3x^2\cdot 9y^2=27x^2y^2$，$4xy\cdot 9y^2=36xy^3$，$5y^2\cdot 9y^2=45y^4$。

4. 4

   按形式给这六个单项式分组。 $21x^4$、$28x^3y$、$36xy^3$、$45y^4$ 各自独一份；$x^2y^2$ 型的有两项，分别是 $35x^2y^2$ 和 $27x^2y^2$。

5. 5

   合并同类项，并按 $x$ 的降幂写出答案。 $35x^2y^2+27x^2y^2=62x^2y^2$，于是得到 $21x^4+28x^3y+62x^2y^2+36xy^3+45y^4$。

6. 6

   取两组值验算。 取 $x=y=1$：$(3+4+5)(7+9)=12\cdot 16=192$，而 $21+28+62+36+45=192$。取 $x=2,y=-1$：$(12-8+5)(28+9)=9\cdot 37=333$，而 $336-224+248-72+45=333$。