求解方程组 5y + 2 + 2zx = 0，5x + 5 + 2zy = 0，x² + y² = 1。

Step-by-step solution

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   认出这是拉格朗日乘数法的结构。 这三个式子恰好是在单位圆上对 $f(x,y)=5xy+2x+5y$ 求驻点的条件：$\nabla f+z\nabla g=0$，其中 $g=x^{2}+y^{2}-1$，而 $z$ 就是乘子。看出这一点，就能预判共有四组解（两组极大／极小，两组鞍点型），也就明白每一个答案都必须落在圆上。

2. 2

   把约束参数化。 令 $x=\cos t$、$y=\sin t$，第三个方程自动满足，前两个方程变成

   $5\sin t+2+2z\cos t=0,\qquad 5\cos t+5+2z\sin t=0$

3. 3

   消去乘子 $z$。 第一式乘 $\sin t$、第二式乘 $\cos t$，再相减；含 $2z\sin t\cos t$ 的项正好抵消：

   $5\sin^{2}t+2\sin t-5\cos^{2}t-5\cos t=0$

   这个只含 $t$ 的方程在 $[0,2\pi)$ 上恰有四个根，四组解的个数就是这么来的。

4. 4

   先读出两组有理解。 其中两个根对应一眼就能认出的点。在 $(x,y)=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ 处，第一式给出 $4+2+2z\cdot\tfrac35=0$，所以 $z=-5$；第二式给出 $3+5+2(-5)\tfrac45=8-8=0$ ✓。在 $(x,y)=(-1,0)$ 处：第一式给出 $0+2+2z(-1)=0$，得 $z=1$，第二式给出 $-5+5+0=0$ ✓。

5. 5

   求出剩下两组，它们带着 $\sqrt{11}$。 另外两个根满足 $20x^{2}+12x-7=0$ 与 $20y^{2}+24y+5=0$，于是

   $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6-\sqrt{11}}{10},\ \frac{4+\sqrt{11}}{2}\right),\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6+\sqrt{11}}{10},\ \frac{4-\sqrt{11}}{2}\right)$

6. 6

   把每个候选解都对三个方程验一遍——尤其是那个约束。 对含 $\sqrt{11}$ 的这一对，$x^{2}+y^{2}=\dfrac{9-12\sqrt{11}+44}{100}+\dfrac{36+12\sqrt{11}+11}{100}=\dfrac{100}{100}=1$ ✓；把前两个方程展开，用 $\left(\sqrt{11}\right)^{2}=11$ 化简，两式都恰好为 $0$。这一步检验必不可少：一组不满足 $x^{2}+y^{2}=1$ 的所谓解，形式再漂亮也是错的。