设 Z1 = 4i/(1 − i 的 555 次方)，Z2 = (7 乘 i 的 88 次方 + 24 乘 i 的 33 次方)/(5i)。求 Z1 的共轭乘以 Z2 的平方、再除以 Z1 所得复数的模。

Step-by-step solution

1. 1

   先用模的运算性质化简目标，再动数字。 模具有乘性，所以 $\left|\frac{\overline{Z_1}\,(Z_2)^2}{Z_1}\right| = \frac{|\overline{Z_1}|\,|Z_2|^2}{|Z_1|}.$ 又因为共轭复数与原数的模相同，$|\overline{Z_1}| = |Z_1|$，两个 $Z_1$ 因子恰好相消：答案就只是 $|Z_2|^2$。$Z_1$ 其实完全用不上——这是题目故意设的一个陷阱。

2. 2

   利用周期 4 化简 i 的幂。 $i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，所以只有指数除以 $4$ 的余数才有意义。$88 \equiv 0 \pmod 4$ 给出 $i^{88}=1$，$33 \equiv 1 \pmod 4$ 给出 $i^{33}=i$。

3. 3

   代入 Z2。 $Z_2 = \frac{7(1)+24(i)}{5i} = \frac{7+24i}{5i}.$

4. 4

   把分母里的虚数单位去掉。 分子分母同乘 $-i$，利用 $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$： $Z_2 = \frac{(7+24i)(-i)}{5} = \frac{-7i-24i^2}{5} = \frac{24-7i}{5} = \frac{24}{5}-\frac{7}{5}i.$

5. 5

   算模的平方。 取 $a=\tfrac{24}{5}$、$b=-\tfrac{7}{5}$： $|Z_2|^2 = a^2+b^2 = \frac{576}{25}+\frac{49}{25} = \frac{625}{25} = 25.$ 正因为出现了 $7$-$24$-$25$ 这组勾股数，答案才这么干净。

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   数值交叉验证。 $555 \equiv 3 \pmod 4$，所以 $i^{555} = -i$，$Z_1 = \tfrac{4i}{1+i} = 2+2i$。直接算 $\left|\tfrac{(2-2i)(24/5-7i/5)^2}{2+2i}\right|$ 得到 $25.000$，既验证了那条捷径，也验证了算术。