把 (x² − 6x + 1)(x² + x + 1) + 12x² 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   逐项展开这个乘积。 把第一个括号里的每一部分分配出去：

   $x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad -6x\left(x^{2}+x+1\right)=-6x^{3}-6x^{2}-6x,\quad 1\left(x^{2}+x+1\right)=x^{2}+x+1.$

   相加并合并同类项，得到 $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1$。

2. 2

   再加上 $12x^{2}$。 只有二次项系数会改变：

   $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1+12x^{2}=x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1.$

   这多出来的 $12x^{2}$ 显然是刻意安排的——正是它把一个平平无奇的四次式变成了能分解的。

3. 3

   注意到系数是回文的。 系数依次读作 $1,-5,8,-5,1$，正着倒着完全一样。这类**倒序（回文）**多项式只要能分解，形状必定是

   $\left(x^{2}+ax+1\right)\left(x^{2}+bx+1\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1,$

   它自己的系数表也自动是回文的。看出这一点，就省掉了在各种可能分解方式里盲目搜索。

4. 4

   比较系数并求解。 与 $1,-5,8,-5,1$ 对照：

   $a+b=-5,\qquad ab+2=8\ \Rightarrow\ ab=6.$

   和为 $-5$、积为 $6$ 的两个数是 $a=-2$ 和 $b=-3$，于是

   $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right).$

5. 5

   分解剩下的二次式，把结果写完。 第一个因式是完全平方，$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$；而 $x^{2}-3x+1$ 的判别式是 $9-4=5$，在有理数范围内分解不了（它的两个根是 $\frac{3\pm\sqrt5}{2}$，正是那对与黄金分割有关的数）。所以在有理数范围内完全的因式分解是

   $\left(x^{2}-6x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)+12x^{2}=(x-1)^{2}\left(x^{2}-3x+1\right).$

   在 $x=2.1$ 处做数值检验：原式给出 $-1.0769$，分解式也给出 $-1.0769$ ✓，另取两个随机值也吻合到九位数字。