已知 N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv²，求多项式 N。

Step-by-step solution

1. 1

   两边同时加上被减去的那个多项式，把 $N$ 解出来。 把整个三项式当成一个整体，不要先去括号：

   $N=\left(12u^2v+2v^3-10uv^2\right)+\left(30u^2v-15uv^2+v^3\right)$

   这样比逐项移项更稳妥，因为括号前那个负号已经被这次加法一并处理掉了。

2. 2

   把两个多项式按同类项排好顺序。 都按 $u^2v$、$uv^2$、$v^3$ 的次序写：

   $12u^2v-10uv^2+2v^3\qquad\text{和}\qquad 30u^2v-15uv^2+v^3$

   注意 $u^2v$ 与 $uv^2$ 不是同类项——它们平方的变量不同，把两者混为一谈正是这里最常见的错误。

3. 3

   把每一类的系数相加。

   $u^2v:\;12+30=42,\qquad uv^2:\;-10+(-15)=-25,\qquad v^3:\;2+1=3$

4. 4

   写出答案。

   $N=42u^2v-25uv^2+3v^3$

5. 5

   代回原方程检验。 取 $u=1$、$v=2$：此时 $N=42(2)-25(4)+3(8)=84-100+24=8$。被减的三项式为 $30(2)-15(4)+8=60-60+8=8$，于是左边是 $8-8=0$。右边是 $12(2)+2(8)-10(4)=24+16-40=0\;\checkmark$。再取 $u=2$、$v=1$ 试第二次：$N=168-50+3=121$，被减三项式为 $120-30+1=91$，左边为 $30$；右边为 $48+2-20=30\;\checkmark$。