化简 (√a + 1)/(a − 1)，其中 a ≥ 0 且 a ≠ 1。

Step-by-step solution

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   看出藏在里面的平方差。 当 $a\ge 0$ 时有 $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$，而 $1=1^{2}$，于是分母可以分解：

   $a-1=\left(\sqrt a\right)^{2}-1^{2}=\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)$

   这一步是整题的关键——不这么写，分式里看不出任何能约掉的东西。

2. 2

   用分解后的分母重写这个分式。

   $\frac{\sqrt a+1}{\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)}$

3. 3

   约掉公因式。 因为 $a\ge 0$，所以 $\sqrt a+1\ge 1>0$，这个约分永远是合法的——不会额外引入新的排除条件：

   $\frac{1}{\sqrt a-1}$

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   把定义域写清楚。 原式要求 $a\ge 0$（根号有意义）且 $a\neq 1$（分母不为零）；化简后的式子带着同样这两条限制，因为 $\sqrt a-1=0$ 恰好只在 $a=1$ 时发生。

   $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt a-1}\qquad(a\ge 0,\ a\neq 1)}$

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   取值验算。 取 $a=9$：原式是 $\dfrac{3+1}{9-1}=\dfrac48=0.5$，化简式给出 $\dfrac{1}{3-1}=0.5$ ✓。再取 $a=0.25$：原式 $=\dfrac{0.5+1}{0.25-1}=\dfrac{1.5}{-0.75}=-2$，化简式 $=\dfrac{1}{0.5-1}=-2$ ✓——连 $0\le a<1$ 这一段取负值的情形也对得上。