解方程 4x³ + 8x³ + 4x² − 16x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   动手之前先合并同类项。 前两项都是三次项：

   $4x^3 + 8x^3 = 12x^3 \quad\Longrightarrow\quad 12x^3 + 4x^2 - 16x = 0$

   跳过这一步、直接对四项做分组分解，是走不通的。

2. 2

   提出最大公因式。 系数 $12, 4, 16$ 有公因数 $4$，而每一项都至少含一个 $x$：

   $4x\left(3x^2 + x - 4\right) = 0$

   这一步既让 $x = 0$ 这个根现身，又把剩下的问题降到二次。

3. 3

   用拆中项的办法分解二次式。 对 $3x^2 + x - 4$，要找两个数，乘积是 $3 \times (-4) = -12$，和是 $+1$：它们是 $4$ 和 $-3$。

   $3x^2 + 4x - 3x - 4 = x(3x+4) - 1(3x+4) = (x-1)(3x+4)$

4. 4

   让每个因式分别为零。

   $4x = 0 \Rightarrow x = 0, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \qquad 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$

5. 5

   把每个根代回原方程检验。 $f(0) = 0$；$f(1) = 12 + 4 - 16 = 0$；$f(-\tfrac43) = 12\left(-\tfrac{64}{27}\right) + 4\left(\tfrac{16}{9}\right) + \tfrac{64}{3} = -\tfrac{256}{9} + \tfrac{64}{9} + \tfrac{192}{9} = 0$。三个根都是精确解。