解方程 (x^2 + 4x - 12) * √(x + 5) = 0，并求它所有根的和。

Step-by-step solution

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   先把定义域定下来。 根号要求 $x+5\ge 0$，即 $x\ge -5$。正是这个限制让这道题不只是一次例行的因式分解：二次式的其中一个根会落在定义域外面。

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   把乘积拆成两种情形。 乘积为零，要么 $x^{2}+4x-12=0$，要么 $\sqrt{x+5}=0$。

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   解二次因式。 判别式是 $D=4^{2}-4(1)(-12)=16+48=64$，于是 $x=\frac{-4\pm 8}{2},$ 得到 $x_1=2$ 和 $x_2=-6$。由于 $-6<-5$，$x=-6$ 落在定义域外，必须舍去；只剩下 $x=2$。

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   解根号因式。 $\sqrt{x+5}=0$ 迫使 $x+5=0$，即 $x=-5$，这恰好是定义域的左端点，所以是可以取到的。

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   把留下来的根相加。 解集是 $\{-5,2\}$，所以和为 $-5+2=-3$。检验一下：$x=2$ 时二次因式是 $4+8-12=0$，$x=-5$ 时根号是 $0$，两者都能让乘积为零。