化简 (x + 3)² + (x − 2)² − 2(x + 3)(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   把三项与已知公式对上号。 式子的排布是：一个平方，加另一个平方，再减去两底数乘积的两倍。这就是

   $A^2 + B^2 - 2AB = (A-B)^2$

   反过来用：原式本来就是某个完全平方的展开形式。

2. 2

   指定两个底数。 这里

   $A = x+3, \qquad B = x-2$

   核对中间项：$2AB = 2(x+3)(x-2)$，正是被减掉的那一项，所以公式可以直接套，不用做任何调整。

3. 3

   算 A − B，留意负负得正。

   $A - B = (x+3) - (x-2) = x + 3 - x + 2 = 5$

   两个底数的一次项系数都是 $1$，所以 $x$ 抵消了 —— 这也就是答案完全不依赖 $x$ 的原因。

4. 4

   把结果平方。

   $(A-B)^2 = 5^2 = 25$

   于是对任意 $x$，这个式子都是常数 $25$。

5. 5

   用硬展开复核。 逐项算：

   $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 + x - 6)$

   $= 2x^2 + 2x + 13 - 2x^2 - 2x + 12 = 25$

   $x^2$ 和 $x$ 两列都消失了，确认结果是常数。再代 $x = 0$ 试算，得 $9 + 4 - 2(-6) = 25$，同样吻合。