展开 (x − 2/√x)⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   摆出二项式展开的骨架。 四次方对应帕斯卡三角形第五行的系数 $1,4,6,4,1$，又因为第二项带减号，符号要正负交替：

   $(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4$

   取 $A=x$，$B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}$。一开始就把 $B$ 写成分数指数的样子，后面的运算才顺。

2. 2

   先看清指数是怎么递降的。 每往后一项，就用一个 $B$（指数 $-\tfrac12$）换掉一个 $A$（指数 $+1$），所以指数每次降 $\tfrac32$：$4,\ \tfrac52,\ 1,\ -\tfrac12,\ -2$。事先把这一串记下来，任何笔误都会被抓出来。

3. 3

   算出前三项。

   $A^4=x^4$

   $-4A^3B=-4x^3\cdot2x^{-1/2}=-8x^{5/2}$

   $6A^2B^2=6x^2\cdot\frac{4}{x}=24x$

   第三项正是根号彻底消失的地方，因为 $B^2=4x^{-1}$。

4. 4

   算出最后两项。

   $-4AB^3=-4x\cdot\frac{8}{x^{3/2}}=-32x^{-1/2}=-\frac{32}{\sqrt{x}}$

   $B^4=\left(2x^{-1/2}\right)^4=\frac{16}{x^2}$

5. 5

   拼出完整的展开式。

   $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^4=x^4-8x^{5/2}+24x-\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

   定义域是 $x>0$，因为 $\sqrt{x}$ 出现在分母上。

6. 6

   在多个 x 值上做数值验证。 在 $x=1$ 处，原式与展开式都得 $1$；$x=0.3$ 时都得 $126.1678$；$x=2.7$ 时都得 $4.83477$；$x=5.5$ 时都得 $466.40627$ ✓。四个分布很开的点（其中一个还小于 $1$）都吻合，足以确认每个系数和指数都没写错。