解方程 x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 0.1。

Step-by-step solution

1. 1

   先写定义域，并把 $0.1$ 写成分数。 分母在 $x=-100$ 和 $x=-125$ 处为零，所以这两个值一开始就要排除。另外把 $0.1=\dfrac{1}{10}$ 写成分数，好让整个方程都留在精确运算里。

2. 2

   把左边通分到公分母 $(x+100)(x+125)$ 上。

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}$

   把两个乘积展开：

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500$

3. 3

   看着分子塌缩成一个常数。 二次项和一次项全部抵消：

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500$

   于是方程就只是

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}$

   这就是整道题的结构要点：只要 $(x+100)(x+125)>0$，左边就恒为负，所以想和正的 $\tfrac{1}{10}$ 相等，唯一的希望就是区间 $-125<x<-100$。

4. 4

   交叉相乘并展开。

   $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$

   $\Longrightarrow\ x^{2}+225x+37500=0$

5. 5

   算判别式。 取 $a=1$，$b=225$，$c=37500$：

   $b^{2}-4ac=50625-150000=-99375<0$

   判别式为负就意味着没有实根，所以原方程没有实数解。（这与第 3 步一致：在 $-125<x<-100$ 上，乘积 $(x+100)(x+125)$ 的绝对值最大也远远不够小到能给出 $-25000$。）

6. 6

   如果需要复根，也一并写出。 由于 $99375=625\cdot 159$，有 $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$，于是

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}=-112.5\pm 157.619i$

   把其中任一个值代回原式，都能在机器精度内还原出 $0.1$。