解方程组 x₁ − 3x₃ = 8，2x₁ + 2x₂ + 9x₃ = 7，x₂ + 5x₃ = −2。
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解方程组
x1−3x3=82x1+2x2+9x3=7x2+5x3=−2\begin{aligned}x_1-3x_3&=8\\ 2x_1+2x_2+9x_3&=7\\ x_2+5x_3&=-2\end{aligned}x1−3x32x1+2x2+9x3x2+5x3=8=7=−2
利用「缺变量」这个便利，而不是死磕消元。 第一个方程里没有 x2x_2x2，第三个方程里没有 x1x_1x1，所以这两个方程本身就已经把某个变量单独用 x3x_3x3 表示出来了。在这道题里，代入法比行变换省力得多。
从这两个稀疏方程里解出 x1 和 x2。
x1=8+3x3,x2=−2−5x3.x_1=8+3x_3,\qquad x_2=-2-5x_3.x1=8+3x3,x2=−2−5x3.
把两式一起代入剩下那个方程。
2(8+3x3)+2(−2−5x3)+9x3=7.2(8+3x_3)+2(-2-5x_3)+9x_3=7.2(8+3x3)+2(−2−5x3)+9x3=7.
展开并合并同类项。
16+6x3−4−10x3+9x3=7 ⟹ 12+5x3=7 ⟹ x3=−1.16+6x_3-4-10x_3+9x_3=7\ \Longrightarrow\ 12+5x_3=7\ \Longrightarrow\ x_3=-1.16+6x3−4−10x3+9x3=7 ⟹ 12+5x3=7 ⟹ x3=−1.
回代求另外两个未知量。
x1=8+3(−1)=5,x2=−2−5(−1)=3.x_1=8+3(-1)=5,\qquad x_2=-2-5(-1)=3.x1=8+3(−1)=5,x2=−2−5(−1)=3.
三个方程逐一验算。 5−3(−1)=5+3=85-3(-1)=5+3=85−3(−1)=5+3=8 ✓；2(5)+2(3)+9(−1)=10+6−9=72(5)+2(3)+9(-1)=10+6-9=72(5)+2(3)+9(−1)=10+6−9=7 ✓；3+5(−1)=−23+5(-1)=-23+5(−1)=−2 ✓。系数行列式等于 −5≠0-5\neq 0−5=0，所以 (5,3,−1)(5,3,-1)(5,3,−1) 是唯一解。
(x1,x2,x3)=(5,3,−1)(x_1,x_2,x_3)=(5,3,-1)(x1,x2,x3)=(5,3,−1)
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