用 x + 1 去除 x³，并把结果写成一个多项式加上一个余项。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子按每一次幂都补全。 缺项必须用零系数占住位置，否则竖式的各列就会错位：

   $x^3+0x^2+0x+0$

2. 2

   第一步除。 $\tfrac{x^3}{x}=x^2$；乘回去再相减：

   $x^2(x+1)=x^3+x^2\quad\Longrightarrow\quad\left(x^3+0x^2\right)-\left(x^3+x^2\right)=-x^2$

3. 3

   第二步。 $\tfrac{-x^2}{x}=-x$；乘回去再相减：

   $-x(x+1)=-x^2-x\quad\Longrightarrow\quad\left(-x^2+0x\right)-\left(-x^2-x\right)=x$

4. 4

   第三步。 $\tfrac{x}{x}=1$；乘回去再相减：

   $1(x+1)=x+1\quad\Longrightarrow\quad(x+0)-(x+1)=-1$

   $-1$ 的次数已经低于 $x+1$ 的次数，除法到此停下，商是 $x^2-x+1$，余数是 $-1$。

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   把答案拼起来，并用余数定理确认。

   $\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1},\qquad x\neq -1$

   余数定理预测余数就是 $f(-1)=(-1)^3=-1$ $\checkmark$。等价地，由 $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$ 可得 $x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$ $\checkmark$。