计算 −19 的平方根乘以 −19 的平方根。

Step-by-step solution

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   这里不能用根式的乘法法则。 恒等式 $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ 只在 $a,b\ge0$ 时成立。不加分辨地套用，会算出 $\sqrt{(-19)(-19)}=\sqrt{361}=19$——符号错了，这正是这道题的经典陷阱。

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   先化到虚数单位上去。 负数的主平方根是通过 $i=\sqrt{-1}$ 定义的：

   $\sqrt{-19}=i\sqrt{19}$

   一旦每个被开方数都非负，普通的代数运算就又安全了。

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   把两个形式相乘。

   $\left(i\sqrt{19}\right)\left(i\sqrt{19}\right)=i^{2}\left(\sqrt{19}\right)^{2}=i^{2}\cdot 19$

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   用 $i^2=-1$。

   $i^{2}\cdot 19=-1\cdot 19=-19$

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   用平方根的定义再确认一次。 对任何数 $z$，按定义都有 $\left(\sqrt z\right)^2=z$——所以 $\left(\sqrt{-19}\right)^2$ 必须是 $-19$。这与算出来的结果一致，也说明了 $+19$ 为什么绝不可能对 ✓。用 $\sqrt{19}=4.3589$ 做个数值检验：$(4.3589i)^2=-19.000$ ✓。