解不等式 |a − 1| < |2a|。

Step-by-step solution

1. 1

   先说明为什么可以平方。 两边都是绝对值，因而都非负，而 $t\mapsto t^2$ 在 $[0,\infty)$ 上严格递增。所以平方是等价变形，不只是单向推出——不会产生增根：

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   比起讨论四种符号组合，这正是平方法的最大优势。

2. 2

   展开并移到一边。

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   于是要解的是 $3a^2+2a-1>0$。

3. 3

   把二次三项式因式分解。 找两个数，积为 $3\cdot(-1)=-3$、和为 $2$，即 $3$ 和 $-1$：

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   于是分界点是 $a=-1$ 和 $a=\tfrac13$。

4. 4

   利用开口向上的抛物线判断符号。 二次项系数 $3$ 为正，所以 $(3a-1)(a+1)$ 在两根外侧为正、两根之间为负：

   $a<-1\qquad\text{或}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   在三个区域各取一点检验。 当 $a=-2$：$|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$。当 $a=0$：$|-1|=1<|0|=0$ 不成立 $\checkmark$（确实该排除）。当 $a=1$：$|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$。端点不含在内，因为在那里两边恰好相等。