把 x³ + x² − 4x − 4 完全因式分解。

Step-by-step solution

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   选择分组分解，并说清它为什么是对的工具。 一共正好四项，而且四项之间没有公共因式，两两分组是标准的第一手。只要两组各自提完公因式后剩下相同的二项式，这一招就成立——下一步就来检查这件事。

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   拆成两组。

   $x^3+x^2-4x-4=\left(x^3+x^2\right)+\left(-4x-4\right)$

   分组时把符号连着项一起带过去，可以避免第二组里那个经典的符号错误。

3. 3

   对每一组提公因式。 第一组提出 $x^2$；第二组提出 $-4$（不是 $+4$，这样两个二项式才对得上）：

   $x^3+x^2=x^2(x+1),\qquad -4x-4=-4(x+1)$

   两组都留下了 $(x+1)$——分组成功了。

4. 4

   把公共的二项式提出来。

   $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)\left(x^2-4\right)$

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   用平方差公式收尾。 $x^2-4=x^2-2^2$，所以

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   从而

   $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$

   要是停在 $(x+1)(x^2-4)$，因式分解就还没做完。

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   在大量取值上展开验证。 把原来的三次式与这个乘积在 $-40$ 到 $39$ 的每一个整数上比较，结果完全一致 ✓。三个根 $-1,\ 2,\ -2$ 也很容易直接验证：$(-1)^3+(-1)^2+4-4=0$，$8+4-8-4=0$，$-8+4+8-4=0$ ✓。