解方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.138128 = 0。

Step-by-step solution

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   先把不同的量级分开看。 在 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128=0$ 里，韦达定理给出三根之和为 $245.711$、三根之积为 $-0.138128$。和很大而积接近零，说明有一个占主导的大根加上两个小根；标准套路就是在各自的量级下，把那一项可以忽略的扔掉。

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   扔掉 $x^{3}$，先求两个小根。 如果 $|x|$ 只有百分之几，那么 $x^{3}$ 大约是 $10^{-5}$ 量级，和 $245.711x^{2}$ 相比完全可以忽略。去掉之后剩下二次方程 $245.711x^{2}-2.764156x-0.138128=0,$ 它的判别式为 $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.138128)=143.3988344243,\qquad \sqrt{D}=11.9749252367.$ 再用求根公式得到 $x\approx -0.018743095\quad\text{和}\quad x\approx 0.029992718.$

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   再用一步牛顿迭代把这两个根修正。 被扔掉的 $x^{3}$ 项只在小数点后第七位上造成偏移；对完整的三次式做牛顿迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，收敛到 $x=-0.018742545\qquad\text{和}\qquad x=0.029994971.$ 与二次方程给的估计值相比，修正量只有 $5.5\times 10^{-7}$ 和 $2.3\times 10^{-6}$，这正是「扔掉 $x^{3}$」所承诺的效果：被忽略的那一项是 $10^{-5}$ 量级，而 $245.711x^{2}$ 这一项是 $10^{-1}$ 量级。

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   大根用三根之和求，而不是套三次方程求根公式。 三个根相加必须等于 $245.711$，于是 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.018742545+0.029994971\right)=245.699747574.$ 把它代回 $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128$，结果在十二位有效数字上都是零。

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   用韦达定理的两个关系一起验证。 三个根 $-0.018742545$、$0.029994971$ 和 $245.699747574$ 之和恰好是 $245.711000000$，之积是 $-0.138128$，正好等于所要求的 $-c$。这里真正关键的是乘积那一条：两个小根就算算错了，和仍然可能对得上，因为大根会自动把差额吸收掉——只有乘积才能把错误暴露出来。

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   写出解集。 $x=-0.018742545,\qquad x=0.029994971,\qquad x=245.699747574.$ 三个根都是实数，这与曲线的形状一致：它在零点稍下方穿过一次横轴，在零点稍上方又穿过一次，最后在很远的 $245.7$ 处穿过第三次。