解三次方程 49 − 112x + 21x² − x³ = 0。

Step-by-step solution

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   先化成首项系数为 1 的标准形式。 把各项倒过来排并整体乘以 $-1$：

   $x^3 - 21x^2 + 112x - 49 = 0$

   下面用到的有理根检验和降次公式，都默认首项系数是 $+1$。

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   排除有理根。 由有理根定理，候选只有 $\pm 1, \pm 7, \pm 49$。逐个试：$f(1) = 43$，$f(-1) = -183$，$f(7) = 343 - 1029 + 784 - 49 = 49$，$f(-7) = -2205$，而 $f(\pm 49)$ 离零更远。所以它在有理数范围内分解不了，综合除法那条捷径走不通。

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   用平移消去二次项，把方程降成不含平方项的形式。 对 $x^3 + ax^2 + bx + c$，换元 $x = y - \tfrac{a}{3}$ 就能消掉平方项。这里 $a = -21$，所以令 $x = y + 7$：

   $(y+7)^3 - 21(y+7)^2 + 112(y+7) - 49 = y^3 - 35y + 49 = 0$

   化简后的 $y^3 + py + q$ 中，$p = -35$，$q = 49$。

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   先确认三个根都是实数，再套余弦公式。 三次判别项 $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3 = 600.25 - 1587.963 = -987.713 < 0$，这就是所谓的不可约情形：三个互不相同的实根，可卡尔达诺的根式公式只能借助复数把它们写出来。改用三角换元 $y = 2\sqrt{-p/3}\,\cos\theta$ 就能绕开这个麻烦：

   $y_k = 2\sqrt{\frac{35}{3}}\,\cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{21}{10}\sqrt{\frac{3}{35}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$

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   换回 $x$ 并算出数值。 由 $x = y + 7$，且 $2\sqrt{35/3} \approx 6.8313$、$\arccos(-0.6148170) \approx 2.2329502$ 弧度，三个根是

   $x_0 \approx 12.0248, \qquad x_1 \approx 8.4956, \qquad x_2 \approx 0.4797$

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   用韦达定理检验。 三根之和应为 $21$，三根之积应为 $49$：$12.0248 + 8.4956 + 0.4797 = 21.0001$，$12.0248 \times 8.4956 \times 0.4797 = 49.01$，两条都对得上。而流传较广的那组数值 $0.4582,\ 9.8091,\ 10.7327$ 就对不上了——它们之和确实是 $21$，但乘积只有 $48.24$，所以并不是这个三次方程的根。