已知 z = 2 + i、u = 3 − 2i、v = −1/2 − (√3/2)i，求 z² − 3u³ + 2v，结果写成 a + bi 的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 z 平方。 用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，并注意 $i^{2}=-1$：

   $z^{2}=(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.$

2. 2

   分两步算 u 的立方。 先平方：

   $u^{2}=(3-2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.$

   再乘一次 $u$：

   $u^{3}=(5-12i)(3-2i)=15-10i-36i+24i^{2}=15-46i-24=-9-46i.$

   先平方再相乘，比一口气展开二项式的立方要不容易出错得多。

3. 3

   乘上各自的系数。 把 $-3$ 分配到实部虚部：

   $-3u^{3}=-3(-9-46i)=27+138i.$

   以及

   $2v=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i.$

4. 4

   把实部加起来。

   $3+27-1=29.$

5. 5

   把虚部加起来。 它们并不能合成一个小数，因为其中带着一个根号：

   $4+138-\sqrt{3}=142-\sqrt{3}.$

6. 6

   写出答案，并核一下量级。

   $z^{2}-3u^{3}+2v=29+\left(142-\sqrt{3}\right)i\approx 29+140.268\,i.$

   $u^3$ 那一项占主导，这在意料之中：$|u|=\sqrt{13}$，所以 $|u^{3}|=13\sqrt{13}\approx 46.9$，$|-3u^3|\approx 140.6$，远大于 $|z^2|=5$ 和 $|2v|=2$。顺带一提，$v$ 的模为 $1$、辐角为 $-\tfrac{2\pi}{3}$，所以它是一个本原的三次单位根。