解方程 (x + 25)/(x + 125) − x/(x + 100) = 1/10，并写出 x 的取值限制。

Step-by-step solution

1. 1

   先把限制条件写下来。 两个分母都不能为零，所以

   $x\ne-125,\qquad x\ne-100.$

   最后算出的两个候选根都得拿回来跟这两条对照一遍。

2. 2

   通分合并，留意这里会大面积抵消。 取公分母 $(x+125)(x+100)$：

   $(x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500,\qquad x(x+125)=x^{2}+125x,$

   于是分子是

   $\left(x^{2}+125x+2500\right)-\left(x^{2}+125x\right)=2500.$

   所有带 $x$ 的项都抵消掉了，只留下一个常数比二次式：

   $\frac{2500}{(x+125)(x+100)}=\frac{1}{10}.$

   注意符号：按这个顺序相减剩下的是 $+2500$，而把两个分数交换位置剩下的就是 $-2500$——而正是这个符号决定了究竟有没有实数解。

3. 3

   交叉相乘，整理成二次方程。 由 $25000=(x+125)(x+100)=x^{2}+225x+12500$：

   $x^{2}+225x-12500=0.$

   常数项现在是负的，所以由韦达定理可知两根符号相反——一正一负。

4. 4

   求解并化简根式。 判别式是

   $\Delta=225^{2}+4(12500)=50625+50000=100625>0,$

   所以有两个实根。把平方因子提出来：$100625=625\times161$，而 $161=7\times23$ 不含平方因子，于是 $\sqrt{100625}=25\sqrt{161}$。因此

   $x=\frac{-225\pm25\sqrt{161}}{2}.$

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   取近似值并验算。 用 $\sqrt{161}\approx12.6886$：

   $x\approx46.107\qquad\text{或}\qquad x\approx-271.107.$

   两者都不等于 $-100$ 或 $-125$，所以都是有效解。把 $x=46.107$ 代回：$\frac{71.107}{171.107}-\frac{46.107}{146.107}=0.41557-0.31557=0.10000$ ✓，负根在同样精度下也验得过 ✓。对比一下把两个分数调换顺序的方程 $\frac{x}{x+100}-\frac{x+25}{x+125}=\frac1{10}$，它的判别式是 $-99375$，根本没有实数解。