设命题变元 p 的真值为 1，求使 (p → ((¬p ∨ r) ∧ ¬s)) ∧ (¬s → (¬r ∧ p)) 真值为 1 的 q、r、s 的所有取值。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意 q 压根没出现。 变元 $q$ 在整个式子里一次都没出现，所以它取什么值无关紧要——不论最后得出什么结论，对 $q=0$ 和 $q=1$ 都成立。先看出这一点，讨论量立刻少了一半。

2. 2

   用 p = 1 化简第一个合取项。 由 $p=1$ 得 $\neg p=0$，所以 $\neg p\vee r=r$。又因为 $1\to X\equiv X$，

   $p\to[(\neg p\vee r)\wedge\neg s]\;\equiv\;r\wedge\neg s$

   要让整个合取式为 $1$，这就逼出 $r=1$ 且 $s=0$。

3. 3

   用 p = 1 化简第二个合取项。 这里 $\neg r\wedge p=\neg r$，所以

   $\neg s\to(\neg r\wedge p)\;\equiv\;\neg s\to\neg r\;\equiv\;s\vee\neg r$

4. 4

   把两个要求放到一起。 整个式子为 $1$ 当且仅当

   $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)=1$

   左边那个因子要求 $r=1,\ s=0$；把这两个值代进右边那个因子得 $s\vee\neg r=0\vee 0=0$。所以整个合取式是 $0$。

5. 5

   得出结论：在 p = 1 下这个式子不可满足。

   $\boxed{\text{找不到能使该式为真的 }q,r,s\text{ ——这里 }p=1}$

   如果题目以选择题形式给出 $(r,s)=(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)$，那么每个选项都是错的。

6. 6

   用穷举真值表验证。 取 $p=1$，把四组 $(r,s)$ 代进 $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)$ 逐一检查：$(0,0)\to 0\wedge 1=0$；$(0,1)\to 0\wedge 1=0$；$(1,0)\to 1\wedge 0=0$；$(1,1)\to 0\wedge 1=0$。四组全是 $0$，印证了前面的代数化简。换个角度看也一样：$r\wedge\neg s$ 与 $s\vee\neg r=\neg(r\wedge\neg s)$ 恰好互为否定，所以它们的合取对任何 $p$ 都是矛盾式。