下列结论哪个正确？A：当 a > 0 时，a³ + 1/a² 的最小值是 2√a。B：当 x > 1 时，x + 1/x 的最小值是 2。C：当 x > 0 时，√x + 1/√x ≥ 2。D：当 x < 5/4 时，y = 4x − 2 + 1/(4x − 5) 的最小值是 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先记牢基本不等式要满足的三个条件。 要让 $u+v\ge 2\sqrt{uv}$ 真的给出一个最小值，两项必须为正，乘积必须是定值，而且取等条件 $u=v$ 必须真的落在允许的定义域里。下面每一个错误选项，恰好各违反其中一条。

2. 2

   A 错在：这个下界不是常数。 基本不等式给出 $a^{3}+\dfrac{1}{a^{2}}\ge 2\sqrt{a^{3}\cdot a^{-2}}=2\sqrt{a}$，可是 $2\sqrt a$ 里还带着 $a$，所以它不是一个最小值——而是个会跟着动的靶子。（真正的最小值出现在 $3a^{2}=2a^{-3}$ 处，即 $a=(2/3)^{1/5}$。）不正确。

3. 3

   B 错在：取等点被定义域排除了。 $x+\dfrac1x\ge 2$ 只在 $x=1$ 处取等，而定义域是 $x>1$。在 $x>1$ 上这个函数严格递增，所以它的取值都 $>2$，永远够不到 $2$：$2$ 只是下确界，最小值并不存在。不正确。

4. 4

   C 正确。 令 $t=\sqrt{x}>0$，则 $t+\dfrac1t\ge 2\sqrt{t\cdot\tfrac1t}=2$，等号在 $t=1$ 即 $x=1$ 处取到，而它确实在定义域 $x>0$ 之内。所以这个不等式对一切 $x>0$ 都成立，而且是紧的。正确。

5. 5

   D 错在：1 是最大值，不是最小值。 令 $t=4x-5$；由 $x<\tfrac54$ 知 $t<0$。又 $4x-2=t+3$，于是

   $y=t+3+\frac1t=3+\left(t+\frac1t\right)$

   当 $t<0$ 时，$t+\dfrac1t=-\left(|t|+\dfrac{1}{|t|}\right)\le -2$，因此 $y\le 1$。所以 $1$ 是 $y$ 的最大值（在 $t=-1$ 即 $x=1$ 处取到），而不是最小值。不正确。

6. 6

   下结论。

   $\boxed{\text{C}}$

   抽查一下：对 D，取 $x=1$ 得 $y=4-2+\tfrac{1}{-1}=1$，取 $x=0$ 得 $y=-2-\tfrac15=-2.2<1$，确认 $1$ 是最大值。对 B，取 $x=1.1$ 得 $1.1+0.909=2.009>2$，函数值向 $2$ 递减却始终到不了。