解方程 x⁸ − 2x⁷ + 3x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² − 2x + 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先读系数的规律。 系数依次是 $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 2$——除了最后一项，整串完全是回文的；而按对称性最后一项本该是 $1$，这里偏偏是 $2$。八次的回文模式 $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 1$ 正是「某个四次式被平方」的标志，所以先把那一块单独拎出来。

2. 2

   把那个平方认出来。 把交错的四次式平方，得到的正好就是这个对称模式：

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = x^8 - 2x^7 + 3x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

   和题中多项式逐项对照，除常数项外每一个系数都吻合，而常数项正好大 $1$。

3. 3

   把整个多项式改写一遍。 因此

   $P(x) = \left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 + 1$

   这个恒等式就是整道题的全部——它让实根问题变得一目了然，也能干净利落地给出复根。

4. 4

   由此断定没有实数解。 对实数 $x$，平方项非负，所以

   $P(x) \ge 0 + 1 = 1 > 0$

   对每一个实数 $x$ 都成立。于是方程 $P(x) = 0$ 没有实数解。数值上 $P$ 在实轴上的最小值约为 $1.4537$，在 $x \approx 0.6058$ 附近取到——离零还差得远，正如恒等式所预言的。

5. 5

   再说说复根长什么样。 在 $\mathbb{C}$ 上方程变成

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = -1 \ \Longleftrightarrow \ x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \pm i$

   于是八个根分裂成两个四次方程的根。（左边那个四次式正是分圆多项式 $\Phi_{10}$，等于 $\frac{x^5+1}{x+1}$。）数值上这些根是

   $x \approx -0.4661 \pm 0.7670i, \quad -0.2913 \pm 1.1399i, \quad 0.6631 \pm 0.8872i, \quad 1.0943 \pm 0.5143i$

   全都确确实实是非实数，并且按实系数多项式应有的样子凑成四对共轭。

6. 6

   说明哪些路走不通。 这个多项式没有有理根；穷举检查也表明，它在整数范围内既不能拆成「二次乘六次」，也不能拆成两个四次式。所以「完全平方加一」并不是众多路径中的一条——它就是唯一的那条路。