化简 (b − 1)/(b + √b − 1) 乘以 (√b + 1)/(b√b − 1) 的倒数，再加上 2√b。

Step-by-step solution

1. 1

   把分式翻过来，先消掉负指数。 对任何非零分式，$\left(\tfrac{u}{v}\right)^{-1}=\tfrac{v}{u}$，所以

   $\left(\frac{\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}-1}\right)^{-1}=\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}$

   于是整个式子变成一个普通乘积再加一项：

   $\frac{b-1}{b+\sqrt{b}-1}\cdot\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+2\sqrt{b}$

2. 2

   换元 $x=\sqrt{b}$，让所有东西都变成多项式。 这是关键一步：根号挡住了常用的因式分解公式，而令 $x=\sqrt{b}\ (x>0)$ 后有 $b=x^2$、$b\sqrt{b}=x^3$，表达式就变成

   $\frac{x^2-1}{x^2+x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x+1}+2x$

3. 3

   分解并约分。 现在标准公式都能用了：

   $x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

   于是这个乘积是

   $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x-1}\cdot\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x+1}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)}{x^2+x-1}$

   $x+1$ 约掉了；注意分母 $x^2+x-1$ 与 $x^2+x+1$ 不是同一个东西，所以别的都约不动。

4. 4

   通分后加上 $2x$。 把 $2x$ 写成 $\dfrac{2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$ 再合并：

   $\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)+2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$

   展开分子：

   $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1$

   $2x(x^2+x-1)=2x^3+2x^2-2x$

   $\text{两者之和}=x^4+x^3+2x^2-3x+1$

5. 5

   确认这个分式确实已经最简。 用 $x^2+x-1$ 去除 $x^4+x^3+2x^2-3x+1$，商是 $x^2+3$，余式是 $-6x+4\neq 0$，说明除不尽，也就不可能再约分。

6. 6

   换回原变量并写出定义域。 由 $x^2=b$、$x^3=b\sqrt{b}$、$x^4=b^2$：

   $\frac{b^2+b\sqrt{b}+2b-3\sqrt{b}+1}{b+\sqrt{b}-1}$

   它在 $b>0$ 且 $b\neq 1$（这样 $b\sqrt{b}-1\neq 0$）、$b\neq\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$（这样 $b+\sqrt{b}-1\neq 0$）时成立。在 $b=2$ 处做数值检验：原式与化简后的式子都给出 $3.142136$。