解方程 |−6 + 4x| = |10 + x|。

Step-by-step solution

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   先把每个绝对值整理一下。 把绝对值号里的项换个顺序，值不会变，因为 $|-6+4x| = |4x-6|$、$|10+x| = |x+10|$。方程于是变成

   $|4x - 6| = |x + 10|$

   写成这个形式，两个一次式就好比较了。

2. 2

   用「两个绝对值相等」的规则。 两边平方得 $A^2 = B^2$，也就是 $(A-B)(A+B) = 0$。所以 $|A| = |B|$ 恰好等价于两种一次的可能：

   $A = B \quad \text{或} \quad A = -B$

   这就是为什么这道题只需要两种情形，而不是把两个绝对值各自独立去号所得到的四种。

3. 3

   情形一：绝对值里的式子相等。

   $4x - 6 = x + 10$

   $3x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{16}{3}$

4. 4

   情形二：绝对值里的式子互为相反数。

   $4x - 6 = -(x + 10) = -x - 10$

   $5x = -4 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{5}$

5. 5

   把两个候选解代回原方程检验。 平方有可能引入增根，所以代入检验不是可选步骤。对 $x = \tfrac{16}{3}$：

   $\left|-6 + \tfrac{64}{3}\right| = \tfrac{46}{3}, \qquad \left|10 + \tfrac{16}{3}\right| = \tfrac{46}{3}$

   对 $x = -\tfrac45$：

   $\left|-6 - \tfrac{16}{5}\right| = \tfrac{46}{5}, \qquad \left|10 - \tfrac45\right| = \tfrac{46}{5}$

   两边都相等，所以两个根都不是增根。

6. 6

   写出解集。 有两个互不相同的值满足方程：

   $x = \frac{16}{3} \quad \text{或} \quad x = -\frac{4}{5}$

   从几何上看，这就是两条 V 形折线 $y = |4x-6|$ 与 $y = |x+10|$ 的两个交点。