解不等式 x² · x − 5 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把式子化简。 同底数幂相乘时指数相加：$x^2\cdot x=x^{2+1}=x^3$。所以这是三次不等式，不是二次的：

   $x^3-5>0$

   把 $x^2x$ 误读成 $x^2$ 或 $2x^2$，整道题的性质就变了。

2. 2

   把三次项单独留下。 两边同时加 $5$：

   $x^3>5$

3. 3

   两边同时开立方。 立方与平方的关键差别正在此处：函数 $t\mapsto t^3$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增且一一对应，所以开立方保持不等号方向，既不需要 $\pm$，也不需要分情况：

   $x>\sqrt[3]{5}$

   作为对照，$x^2>5$ 得到的会是两段式答案 $x>\sqrt5$ 或 $x<-\sqrt5$。

4. 4

   把这个界算出来。

   $\sqrt[3]{5}=1.709976\ldots\approx1.71$

   顺手估一下量级：$1.7^3=4.913$（略小于 $5$），$1.71^3=5.000211$（刚刚超过），所以这个立方根就夹在两者之间 ✓。

5. 5

   写出解集。 一条射线，左端开口，因为不等号是严格的：

   $x>\sqrt[3]{5},\qquad\left(\sqrt[3]{5},\ \infty\right)$

6. 6

   扫描验证。 在 $-5$ 到 $5$ 之间取 $10{,}001$ 个点计算 $x^3-5$，把符号与 $x>\sqrt[3]{5}$ 逐点对照，结果处处一致 ✓ —— 负数区间也包括在内，那里三次式取值明显为负，被正确排除。