把 3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解二次部分。 若能分解成两个一次因式，它们的最高次部分相乘必须等于

   $3x^{2}-14xy+15y^{2}=(3x-5y)(x-3y)$

   （检验：$3x\cdot(-3y)+(-5y)\cdot x=-9xy-5xy=-14xy$。✓）

2. 2

   把待定的常数写出来。 因式分解必然形如

   $(3x-5y+p)(x-3y+q)$

   其中常数 $p,q$ 满足 $pq=4$。

3. 3

   对照 x 的一次项系数。 展开后含 $x$ 的项是 $3qx+px$，所以 $3q+p=13$。

4. 4

   对照 y 的一次项系数。 含 $y$ 的项是 $-5yq-3py$，所以 $-5q-3p=-23$，即 $5q+3p=23$。

5. 5

   解这个小方程组。 由 $p=13-3q$ 代入得 $5q+39-9q=23$，于是 $-4q=-16$，$q=4$，$p=1$。两者也确实满足 $pq=4$。因此

   $\boxed{(3x-5y+1)(x-3y+4)}$

6. 6

   展开确认。 $(3x-5y+1)(x-3y+4)=3x^2-9xy+12x-5xy+15y^2-20y+x-3y+4=3x^2-14xy+15y^2+13x-23y+4$。✓