解方程 x⁴ + x³ + x² + x = 4553。

Step-by-step solution

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   先把左边分解，看清它的形状。 分组提取：

   $x^4+x^3+x^2+x=x(x^3+x^2+x+1)=x(x+1)(x^2+1)$

   由于 $x^2+1>0$ 恒成立，$g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ 的符号就等于 $x(x+1)$ 的符号：只在 $(-1,0)$ 上为负，区间外都为正。而且 $g$ 在两个方向上都按 $x^4$ 的量级增长。所以对任何大于 $0$ 的目标值，实根恰好有两个，一正一负 —— 负的那一半正是最容易被忘掉的。

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   先把正根夹住。 $g(7)=2401+343+49+7=2800$，$g(8)=4096+512+64+8=4680$。目标值 $4553$ 落在两者之间，所以根在 $(7,8)$ 内，而且靠近 $8$。

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   把正根加密。 $g(7.9)=4458.36$，$g(7.95)=4568.17$，所以根在 $(7.9,7.95)$ 内。二分到机器精度得

   $x_1=7.9431476$

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   否掉流传很广的 7.949102。 在那里计算得 $g(7.949102)=4566.18$，比 $4553$ 超出了 $13$ 以上。差这么多的值不可能是根；这个偏差之所以容易被忽略，是因为四次幂让 $g$ 在 $x=8$ 附近变化极快（每单位约 $2200$）。

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   把负根也夹住并加密。 $g(-8)=4096-512+64-8=3640$，$g(-8.5)=4669.69$，所以第二个根落在 $(-8.5,-8)$ 内。二分得

   $x_2=-8.4477787$

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   两个都验证一下。 $g(7.9431476)=4553.000$，$g(-8.4477787)=4553.000$，都精确到小数后三位。这个四次方程剩下的两个根是一对共轭复数，所以实数解集恰好是 $\{7.9431476,\,-8.4477787\}$。