解方程：8/(8.9 − x) = (71 − x × √((8.9 − x)² − 64)/(8.9 − x))/71，求 x。

Step-by-step solution

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   先把定义域定下来。 需要 $8.9-x\neq0$ 且 $(8.9-x)^2-64\ge0$，即 $|8.9-x|\ge8$，也就是

   $x\le 0.9\qquad\text{或}\qquad x\ge 16.9$

   每个候选根都必须通过这一关；后面两边平方还会额外造出一批不满足它的假根。

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   同时去掉两个分母。 先乘 $71$，再乘 $8.9-x$：

   $568=71(8.9-x)-x\sqrt{(8.9-x)^2-64}$

   由于 $71(8.9)=631.9$，整理后得到

   $x\sqrt{(8.9-x)^2-64}=631.9-71x-568=63.9-71x$

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   把被开方式按平方差分解。 正是这一步让整道题变得可做：

   $(8.9-x)^2-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x)$

   同时右边也有 $63.9-71x=71(0.9-x)$。同一个因式 $0.9-x$ 在两边同时出现，于是方程变成

   $x\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=71(0.9-x)$

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   第一个解白送。 若 $0.9-x=0$，两边都为零，所以 $x=0.9$ 是精确解。代回原方程检验：左边 $\tfrac{8}{8}=1$，右边根号为 $0$，得 $\tfrac{71-0}{71}=1$ ✓。

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   处理剩下那一支。 当 $x<0.9$ 时 $0.9-x>0$，于是 $\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=\sqrt{0.9-x}\,\sqrt{16.9-x}$，可以约掉一个 $\sqrt{0.9-x}$：

   $x\sqrt{16.9-x}=71\sqrt{0.9-x}\ \Longrightarrow\ x^{2}(16.9-x)=5041(0.9-x)$

   $\Longrightarrow\ x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0$

   （$x\ge16.9$ 这一支不可能成立：那里左边 $\ge0$，而 $71(0.9-x)<0$。）

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   解这个三次方程并剔除增根。 它的三个根是 $-63.5486$、$0.8974433$ 和 $79.5511$。平方那一步要求 $x>0$ 且 $x\le0.9$，所以第一个和第三个都是增根——把它们代回原方程，左右两边相差 $-1.78$ 和 $-2.23$，而不是 $0$。只有

   $x=0.8974433$

   留了下来，它能把原方程复现到 $10^{-8}$ 的精度 ✓。

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   把两个答案一起写出来。 完整解集是 $x=0.9$ 与 $x\approx0.8974433$。顺带一验：$(x-0.9)$ 乘上那个三次式，正好复现四次式 $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$，说明过程中没有丢根。