化简 (3x^2 + 4)^2 + (3x^2 - 4)^2 - 2(3x^2 + 4)(3x^2 - 4)。

Step-by-step solution

1. 1

   先别急着展开 —— 看结构。 硬展开的话要做三次四次式的乘法，账目一大堆。可是这三块恰好就是两个重复出现的整体的 $a^2$、$b^2$ 和 $-2ab$，这正是下面这个公式的标志：

   $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

2. 2

   把两个整体换元。 令

   $a=3x^2+4,\qquad b=3x^2-4$

   原式就字面上是 $a^2+b^2-2ab$，于是它等于 $(a-b)^2$。把每个括号当成一个整体来看，是省下全部力气的关键一步。

3. 3

   算 $a-b$，注意减号要分配到底。

   $a-b=(3x^2+4)-(3x^2-4)=3x^2+4-3x^2+4=8$

   $3x^2$ 两项抵消，而两个常数是相加（因为 $-(-4)=+4$）。这里算成 $0$ 而不是 $8$ 是最典型的符号错误。

4. 4

   把这个差平方。

   $(a-b)^2=8^2=64$

   所以整个式子塌缩成常数 $64$：对任何实数 $x$ 它取同一个值，答案里没有 $x$。

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   取两个不同的 $x$ 验算。 当 $x=0$：$16+16-2(4)(-4)=16+16+32=64$。✓ 当 $x=1$：$49+1-2(7)(-1)=49+1+14=64$。✓ 两个不同的输入得到同一个输出，是这个式子确实为常数的有力证据。