解连不等式 7 < 60(1 + x)/7 < 8。

Step-by-step solution

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   先预判答案的正负。 当 $x=0$ 时中间那一项等于 $\tfrac{60}{7}\approx8.57$，已经高于目标窗口 $(7,8)$。所以 $1+x$ 必须被压到 $1$ 以下，也就是说 $x$ 一定是负数——这是一个很好用的事后检验。

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   三部分同乘 7。 因为 $7>0$，两个不等号的方向都保持不变：

   $49<60(1+x)<56$

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   三部分同除 60。 除数同样是正数：

   $\frac{49}{60}<1+x<\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$

   此刻先把 $\tfrac{56}{60}$ 约成 $\tfrac{14}{15}$，下一步会干净很多。

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   三部分同减 1。

   $\frac{49}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{14}{15}-\frac{15}{15}$

   $-\frac{11}{60}<x<-\frac{1}{15}$

   两个端点都是负数，正如第一步预判的那样。

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   检查两个端点的大小顺序。 通分到 $60$：$-\tfrac{11}{60}<-\tfrac{4}{60}$ ✓，所以这个区间确实存在且非空，不像把 $8$ 与 $7$ 写反之后得到的那种自相矛盾的结果。

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   把两个端点精确验算一遍。 当 $x=-\tfrac{11}{60}$ 时：$1+x=\tfrac{49}{60}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{49}{60}=\tfrac{49}{7}=7$——恰好落在下界上 ✓。当 $x=-\tfrac{1}{15}$ 时：$1+x=\tfrac{14}{15}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=\tfrac{56}{7}=8$ ✓。两个不等号都是严格的，所以端点本身要排除在解集之外。