已知 (x² + y² + z²)² = 8z，z 能否写成单一函数 f(x, y)？请描述该曲面。

Step-by-step solution

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   先注意一个立刻可见的符号限制。 左边是一个平方，因而非负，所以 $8z\ge 0$，即 $z\ge 0$。整个曲面都位于上半空间。

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   代入原点，问题当场见分晓。 令 $x=y=0$，得

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{或}\ z=2$

   同一个输入 $(0,0)$ 却对应两个 $z$ 值，所以没有任何单值函数 $f$ 能描述整个曲面——它通不过垂线检验。

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   换个思路，解出到 z 轴的径向距离。 两边取非负平方根（这是合法的，因为左边是平方且 $z\ge 0$）：

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   这样就把曲面描述得干干净净：在每个高度 $z$ 上都是一个半径可算的圆。

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   求出高度的取值范围。 左边 $x^{2}+y^{2}$ 不可能为负，所以必须有

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   可见曲面是有界的，夹在平面 $z=0$ 与 $z=2$ 之间。

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   描述它的形状。 在每个高度 $z\in[0,2]$ 处，横截面是半径为 $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$ 的圆。这个半径在 $z=0$ 和 $z=2$ 处都为 $0$，中间为正（在 $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$ 处达到最大，半径达到 $\approx 1.3747$），所以曲面是一个绕 $z$ 轴旋转而成的闭合旋转体，形似苹果，上下两端各收成一点。

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   给出结论。 不存在单一的函数 $z=f(x,y)$；这个曲面只能用隐式方程表示，或者在圆盘 $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$ 上拆成上、下两支。在这里硬给出一个闭形式的 $f$，等于悄悄丢掉了一半曲面。