先在有理数范围内分解 x³ + 4x² − 5，再在实数范围内分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 常数项是 $-5$，首项系数是 $1$，所以候选根只有 $\pm 1,\pm 5$。试 $x=1$：

   $1+4-5=0$

   于是 $(x-1)$ 是一个因式。

2. 2

   把 $(x-1)$ 除掉。 先把缺掉的一次项补上，写成 $x^3+4x^2+0x-5$ 再做除法：

   $x^3+4x^2-5=(x-1)\left(x^2+5x+5\right)$

3. 3

   检查二次因式有没有有理根。 它的判别式是

   $D=5^2-4(1)(5)=25-20=5$

   $5$ 是正数，却不是完全平方数，所以 $x^2+5x+5$ 在有理数范围内不可约，但它又确实有两个实根。这恰好就是两个答案的分界线。

4. 4

   在实数范围内分解。 两根是 $\tfrac{-5\pm\sqrt5}{2}$，所以

   $x^2+5x+5=\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)$

5. 5

   两种形式都验一遍。 展开 $(x-1)(x^2+5x+5)$ 得 $x^3+5x^2+5x-x^2-5x-5=x^3+4x^2-5$ $\checkmark$。对实数形式，两个常数之和为 $5$、之积为 $\tfrac{25-5}{4}=5$，与 $x^2+5x+5$ 的系数吻合 $\checkmark$。