化简乘积 (2x − √(2x) − 1)(2x + √(2x) − 1)。

Step-by-step solution

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   先找共轭结构，别老老实实去乘那九项。 两个因式除了 $\sqrt{2x}$ 前面的符号，其余部分完全一样。这正是 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 的标志——前提是要把项分组分对。

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   选好分组方式。 把所有不变号的部分归进 $a$，把根号那一项归进 $b$：

   $a = 2x - 1, \qquad b = \sqrt{2x}$

   这样乘积恰好就是 $\left(a - b\right)\left(a + b\right)$。

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   套公式。

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2 = (2x-1)^2 - \left(\sqrt{2x}\right)^2$

   根号一步就没了——这就是值得先把这种分组看出来的原因。

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   把两个平方分别展开。

   $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x$

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   相减并合并同类项。

   $4x^2 - 4x + 1 - 2x = 4x^2 - 6x + 1$

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   取 x = 2 做数值检验。 两个因式分别是 $4 - 2 - 1 = 1$ 和 $4 + 2 - 1 = 5$，乘积为 $5$。化简后的式子给出 $4(4) - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$，两者吻合。（注意原式因为带根号需要 $x \ge 0$，而化简后的多项式对所有 $x$ 都有定义。）